Problema un tanto… curioso

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En estos días me he encontrado mediante sobre el uso de la transformada Z para sistemas discretos y me llamó la atención que existen ecuaciones en diferencias que por decirlo así: son algo especiales. Una de ellas es la que utilizaré para demostrarles a ustedes que el número áureo siempre anda por allí, en cualquier momento -el menos inesperado- es que lo ves a los alrededores con ganas de hacer presencia. Se supone que la transformada Z debería resolver rápidamente la sucesión siguiente:

{tex} bg_black  x(k+2) = x(k+1)+x(k) {/tex}

Donde x(0) = 0 y x(1) = 1

¿Pueden ustedes demostrarme que el valor para {tex} bg_black frac{x(k+1)}{x(k)}{/tex} a medida que k se aproxima a infinito es precisamente nuestro amigo áureo? También me gustaría saber qué deducen a medida que le dan valores a la sucesión incógnita, no dudo en que sabrán decirme qué sucesión famosa se encuentra.

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Es una chica geek, ingeniera en el área de electrónica y telecomunicaciones. Sus áreas de interés son los sistemas embebidos, microcontrolandores, procesamiendo digital de señales, y programación.