Demostración de la función exponencial en serie de potencias

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He decidido hacer un artículo completo que hable un poco sobre la función exponencial y cómo demostrar su expansión en serie de potencias. Destaco que esta demostración es una de las más sencillas para entender, así que espero que pueda servirle de ayuda en sus cursos de cálculo integral y ecuaciones diferenciales ordinarias. Para hacer esta demostración hay que tomar en cuenta ciertas curiosidades que veremos a medida del desarrollo.

Consideremos una función que puede expandirse como una serie de potencias centrada en cero:

{tex}bg_black f(x) = sum_{n=0}^infty C_n X^n = e^X = C_0 + C_1X + C_2X^2 + C_3X^3 + C_4X^4 + …{/tex}

Cuando se deriva esta serie se obtiene lo siguiente:

{tex}bg_black frac{mathrm{d} f(x) }{mathrm{d} x} = sum_{n=1}^infty nC_n X^{n-1} = f(x) {/tex}

Esto se pone interesante ya que se puede observar una propiedad que posee la derivada de la función exponencial: la función f(x) es su propia derivada. Es sencillamente grandioso porque es la única función con esta propiedad, haciéndola que se encuentre en muchas soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias sencillas; Es más, se puede decir que toda solución de EDO sencillas puede expresarse en base a funciones exponenciales. 

Se tienes entonce que: 

{tex} bg_black sum_{n=1}^infty nC_n X^{n-1} – sum_{n=0}^infty C_n X^n = 0{/tex}

Partiendo de esta ecuación, voy a tratar de hacer un factor común de las dos series presentes pero para hacerlo necesito que ellas comiencen a la vez, es aquí donde hago un cambio de variable para cada n, y lo igualo a la expresión que se encuentre en el exponente. En el primer caso sería: k = n-1 y k = n, teniendo como resultado:

{tex}bg_black sum_{k=0}^infty (k+1)C_{(k+1)} X^{k} – sum_{k=0}^infty C_k X^k = 0{/tex}

Hacemos factor común:

{tex}bg_black sum_{k=0}^infty X^k left { (k+1)C_{(k+1)}-C_k right } = 0{/tex}

Y ahora, como lo que necesito igual a cero son los coeficientes de la serie porque la serie en sí nunca será igual a cero, tenemos:

{tex}bg_black (k+1)C_{(k+1)}-C_k = 0{/tex}

{tex}bg_black C_k = (k+1)C_{(k+1)}{/tex}

Se deduce que para k = 0,1,2… n enteros positivos:

{tex}bg_black C_0 = C_1{/tex}

{tex}bg_black C_1 = 2C_{2}{/tex}

{tex}bg_black C_2 = 3C_{3}{/tex}

{tex}bg_black C_3 = 4C_{4}{/tex}

Si trato de expresar ahora, la función en serie de potencia que teníamos inicialmente tendríamos lo siguiente:

{tex}bg_black f(x) = C_{0}+C_{0}X + frac{C_{0}X^2}{2} + frac{C_{0}X^3}{2*3} + frac{C_{0}X^4}{2*3*4} + …{/tex}

Es decir, que yo puedo expresar todos los coeficientes de la serie en base al primer coeficiente {tex}bg_black C_{0}{/tex} dividido por un número F que viene a ser precisamente el factorial de n. Ahora, la pregunta es: ¿Cuál es el valor de {tex}bg_black C_{0}{/tex} ? Pues, este valor es precisamente cuando la x = 0, es decir f(0) = 1.

Tendríamos en conclusión que la forma que toma la función exponencial a través de nuestro contandor inicial n es:

{tex}bg_black f(x) = sum_{n = 0}^{infty} {x^n over n!}{/tex}

Lo cual me parece una grandiosidad. 

Ahora que hemos demostrado cómo se puede expandir esta función, tendrán una idea de cómo trabajan las calculadoras científicas que utilizan en sus colegios ya que ellas lo que hacen es sumar términos a término el resultado de la serie y hacer una aproximación, ya que no pueden sumar toda la expansión hasta el infinito =). Es importante destacar que la función exponencial está presenta en el campo de la electricidad, por ejemplo… en la descarga de un capacitor está descrito por funciones exponenciales decrecientes o también en la amplificación de corriente en los transistores bipolares. La primera vez que escuché que e era transcendental fue en un libro de cálculo diferencial e integral donde se presenta un cuadro cronológico de ciertos descubrimientos de matemáticos célebres, en el cuadro de Sophie Kovalevsky decía que este número era transcendental. Es decir, que es un número irracional que no puede ser expresado como raíz de un polimonio con coeficientes enteros. 

En fin, esta función es bastante activa en muchos campos de la vida cotidiana, no sólo en electricidad y hemos visto en este artículo su grandiosa majestuosidad. 

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Es una chica geek, ingeniera en el área de electrónica y telecomunicaciones. Sus áreas de interés son los sistemas embebidos, microcontrolandores, procesamiendo digital de señales, y programación.