Métodos de resolución de operaciones lógicas booleanas

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En nuestra práctica y desarrollo de proyectos nos encontraremos con la necesidad de generar ecuaciones de lógica de Boole que nos permitan utilizar la menor cantidad de componentes simplificando y reduciendo a la vez que resolvemos los cuadros lógicos que proponen nuestros proyectos.Existen diferentes métodos para resolver operaciones lógicas booleanas.

Las más conocidas y las que mayor se utilizan son:

  1. Método algebraico
  2. Método del Mapa de Karnaugh o Mapa K
  3. Método de Tabulación de Quine – Mc Cluskey

 

Ahora abramos la ventana de cada uno de ellos, conozcamos sus ventajas y desventajas:

Método algebraico
Este método es el más sencillo de todos, pero el que más complica al diseñador cuando está simplificando funciones de más de dos variables. La simplificación matemática por medio del algebra de Boole no es nada sistemática y por tanto dependerá de la habilidad y capacidad del diseñador en asegurar que el camino que tome será el más simple, como también que el resultado es el más viable a la respuesta que use menos compuertas lógicas. Para más de tres variables este procedimiento junto con esta habilidad no asegurar que el resultado obtenido sea una expresión irreducible. Como conocemos, se usarán los resultados por medio de los procedimientos de POS o SOP ( producto de sumas o suma de productos respectivamente).

Ventajas:

    • Compacto para proyectos de muy pocas variables.
    • Usa las leyes básicas de Boole para obtener y simplificar.

 

Desventajas:

    • Tedioso, largo y complicado al manipular más de tres variables.
    • No asegura que el resultado sea irreducible.

 

Método de Mapa de Karnaugh
Este es un método relativamente sencillo, y digo relativo por que posee un límite visual que verás más abajo en las imágenes, de manera computarizada puede ser resuelto pero de forma gráfica tabulada a mano, puede llegar a confundir al diseñador y complicar la forma en la que usa las formas canónicas de SOP y POS. 

Utilizará arreglos tabulares que organizarán nuestra tabla de diseño lógico de tal manera que agrupaciones estudiadas, y que más adelante explicaré sean naturalmente simplificadas quitando trabajo a la sistemática tarea que resolvía nuestro anterior método algebraico con leyes de Boole; que conste que este método no desprende de estás leyes, sino que ordinariamente las organiza de tal manera que las podamos usar intuitivamente sin tener conciencia del uso directo, por lo tanto es un uso indirecto gráfico de las leyes de Boole.

Dicho método entonces es un método gráfico que da a cada valor de nuestra tabla de la verdad una casilla.La tabla se construye colocando en entradas verticales las combinaciones posibles de las variables de las que depende la función que se pretende simplificar, y en el encabezado de cada columna la combinación binaria  que le corresponde, de manera que de cada columna a la siguiente cambie sólo una variable lógica.

Como entradas horizontales se disponen combinatorias de las variables faltantes, de forma que las combinaciones binarias que corresponden a dos filas contiguas cambien de valor también en una sola variable.

En las siguientes tablas se muestran representaciones de mapas K para funciones de 2, 3, 4, 5 y 6 variables ( Después de 5 realmente se vuelve un inconveniente).

{rokbox title=|Cuadros Mapa de Karnaugh.| thumb=|http://www.clase911.com/C911/images/problems/problem_boolean.jpg|}http://www.clase911.com/C911/images/problems/problem_boolean.jpg{/rokbox}

Cada cuadro pertenece a un término canónico (POS o SOP) formado por las variables que se indican en el vértice superior izquierdo de la tabla y con la expresión directa de acuerdo a la combinación asociada un 1 o un 0, respectivamente.Para figurar una función en esta tabla se parte de su forma canónica y se escribe un 1 en los cuadros que pertenecen a los términos que estén presentes. Los demás se llenan con ceros o se dejan en blanco (gusto del diseñador). 

Por haber empleado un código cíclico para las combinaciones de filas y columnas observamos que las celdas aledañas (las que poseen un do en común, teniendo en cuenta que los lados derechos e izquierdos están unidos al igual que los lados inferiores y superiores), difieren en el valor de una sola variable, por lo tanto, ésta es la clave de la simplificación.Si los cuadros adyacentes tienen un “1”, tendremos dos términos canónicos que son diferentes, estará entonces en forma negada y como conocemos las leyes de Boole, se puede eliminar su valor y no va a influir en el resultado:

F = ABC + ABC’ = AB(C+C’) = AB

Si se logran asociar cuatro celdas en un solo término, se eliminan las variables que cambian de valor y se mantienen las que permanecen invariable.

Concluyendo, se deben agrupar todos los unos en cuadrículas contiguas de {tex}bg_black 2^n{/tex}  términos, sin dejar ningún “1” sin incluir en cuadrículas, y procurar que sean lo más grandes posibles. Lo mejor es que cada cuadrícula al menos posea un elemento que solo pertenezca a ella.

En otros casos pueden salir resultados que necesiten agrupaciones en “xnor” o “xor”, debido a que esto no lo contempla el mapa.

Ventajas:

    • Compacto y robusto para proyectos de muy pocas variablesUsa las leyes básicas de Boole intuitivas y de manera mecánica.
    • Maneja hasta un límite de 6 variables de manera manual e iterativa.

 

Desventajas:

    • Tedioso, largo y complicado al manipular más de seis variables.
    • No asegura que el resultado sea irreducible para compuertas XNOR y XOR.

 

¿Qué ocurre si mi proyecto incluye más de seis variables?

Método alternativo de Tabulación de Quine- Mc Cluskey
Como este método es uno de lo más completos y complejos, lo dejaremos para dedicarle un tutorial completo.