Leyes de Kirchhoff: El método Zbus

En este post voy a compartir con ustedes mis conocimientos acerca del análisis matemático de circuitos eléctricos como parte de una serie de post/tutoriales que he venido publicando recientemente acerca de las Leyes de Kirchhoff. Mis anteriores aportes los pueden encontrar en los siguientes enlaces:

• Ley de las corrientes de Kirchhoff: Método de nodos
• Ley de los voltajes de Kirchhoff: Método de Mallas

Ahora voy a compartir el método más fascinante para el análisis matemático, la Zbus.

Pero, antes de explicar qué es y cómo se resuelve la Zbus quiero acarar algunos conceptos que están directamente vinculados a este método y a la nomenclatura del mismo.

En teoría de circuitos se utiliza una serie de símbolos para representar las propiedades de ciertos materiales y componentes. Hasta ahora hemos visto la resistencia que no es más que la oposición de un cuerpo al flujo de corriente. También hemos mencionado la conductancia que es el inverso de la resistencia y por definición es la facilidad con la que un cuerpo conduce la corriente eléctrica.

Para el estudio de circuitos se utiliza con mucha frecuencia tanto la resistencia como la conductancia. En mis anteriores aportes hemos estudiado un poco acerca de estas características:

• Conceptos básicos de electricidad
• Conceptos básicos de electricidad: La Ley de Ohm

Sin embargo estas no son las únicas propiedades eléctricas de los elementos que se usan en el estudio de la electricidad. Tanto la resistencia como la conductancia son propiedades de los materiales usados en circuitos eléctricos, ambas con magnitudes en el conjunto de los números reales. Pero, aparte de estas dos nos encontramos con algunas que no son números reales, sino números complejos o números imaginarios.

¿Qué es un número imaginario?

Es simplemente un número que no pertenece al conjunto de los números reales y va siempre acompañado del operador imaginario i. Por ejemplo:

¿Qué es un número complejo?

Es la combinación de un número imaginario y un número real. Cumple con la forma:

Ejemplo:

En la siguiente tabla voy a mencionar las propiedades que se utilizan en el estudio de circuitos eléctricos.

Como podemos observar la resistencia y la conductancia no son entes independientes sino que forman parte de otras propiedades, sean la impedancia y la admitancia.

Dicho esto podemos establecer las siguientes relaciones:

Pero, si la resistencia es parte de la impedancia, ¿por qué hasta ahora no hemos considerado la reactancia en nuestros cálculos?

Pues la definición de reactancia (y por extensión, la susceptancia) depende de ciertas condiciones especiales.

La letra griega omega (ω) expresa la frecuencia angular de un circuito. Ya estaríamos hablando de fasores, del dominio de la frecuencia y de análisis avanzado en ingeniería, por lo que trataré de ser breve. La reactancia depende de la capacitancia (C), de la Inductancia (L) y de la frecuencia angular (ω). Como en nuestros circuitos nosotros no estamos usando ni inductores ni capacitores, entonces nuestras capacitancias e inductancias son cero. Además, al tratarse de corriente directa, la frecuencia angular es cero también. Dicho esto tenemos:

Esto hace que para los circuitos que nosotros analizamos en este blog,  la impedancia sea igual a la resistencia sin tomar en cuenta la reactancia que es cero. De igual forma la susceptancia es cero y la admitancia de nuestros circuitos será igual a la conductancia.

Ahora sí podemos entrar en el método de Zbus. La Zbus es una matriz de impedancias. Como nuestras impedancias son igual a la resistencia, entonces nuestra matriz contendrá todas las resistencias del circuito. Pero para que este método funcione hay que construir primero una matriz de admitancias, lo que llamamos Ybus.

Veamos los parámetros que tenemos que seguir para construir la Ybus. Esta debe ser una matriz «n x n» donde n es la cantidad de nodos a analizar.

Para este ejemplo vamos a usar el mismo diagrama que se usó con el post de la Ley de Las Corrientes de Kirchhoff.

El patrón para construir la Ybus es el siguiente:

Ahora empezamos a llenar nuestra Ybus.

En la primera fila se coloca todas las admitancias relacionadas con el nodo 1. En el primer índice se coloca todas las admitancias que van al nodo 1. En el segundo índice (1-2) todas las admitancias entre el nodo 1 y el nodo 2 con signo invertido. En el tercer índice todas las admitancias entre el nodo 1 y el nodo 3, con signo invertido.

Veamos las admitancias que tocan el nodo 1:

Vemos que hay 3 resistencias que tocan el nodo 1. Pero no necesitamos las resistencias sino las admitancias, así que las invertimos y las sumamos.

Ahora vemos las admitancias entre el nodo 1 y el nodo 2.

Solo hay una resistencia entre el nodo 1 y el nodo 2, así que solo colocamos esa con signo invertido. Como entre el nodo 1 y el nodo 3 no hay conexión directa, se considera la impedancia 1-3 como cero.

Ahora hacemos lo mismo para todos y cada uno de los nodos y obtenemos nuestra Ybus.

Como el inverso de la admitancia es la impedancia, si invertimos la Ybus se obtiene la Zbus. Usamos Microsoft Mathematics.

Al final nuestra Zbus es la siguiente:

Ahora por medio de la Ley de Ohm podemos encontrar los voltajes en los nodos.

Como sabemos que el Voltaje es el producto de la Corriente por la Resistencia, podemos deducir que para este caso el Voltaje también es igual a la corriente por la Impedancia.

Dicho esto tenemos:

En esta igualdad tenemos todo excepto la corriente en los nodos. Esta corriente es fácil de obtener si dividimos el voltaje de las fuentes entre las resistencias que tocan los nodos y los unen con las fuentes.

Al nodo 2 no hay ninguna corriente entrando por la acción directa de una fuente de voltaje o de corriente, por lo que se asume que es cero. Ahora construimos nuestra matriz de corrientes.

Ahora podemos ejecutar esta operación. Necesitaremos algo que esté un poco más allá del Mathematics, sea Matlab, las calculadoras Texas Instruments (Voyage, TI-89, TI-Nspire), las HP o cualquier dispositivo de resolución de problemas complejos. Yo usaré Matlab.

Declaro las matrices de voltaje y de corriente.

Ahora se declara la Matriz Ybus.

Ahora se ejecuta el comando I*inv(Y)==V y vemos el resultado:

Comprobamos los resultados en el simulador:

El método de Zbus es el más sencillo de todos ya que no se requiere de mucho análisis, solo hay que mirar los nodos y las resistencias que llegan a cada uno. Se transforman a admitancias y se suman. Se consigue la corriente que entra por el efecto de fuentes de voltaje a cada nodo. Se establecen las matrices y con una buena herramienta de cálculo se pueden obtener los voltajes en los nodos de manera fácil y sencilla.

Si desean consultar otro ejemplo pueden ver descargar el siguiente documento:

En el siguiente video se muestra el proceso completo con la explicación bien detallada:

Espero que la información suministrada sea de su completo agrado y comprensión.

Saludos.