Ley de las corrientes de Kirchhoff: Método de nodos

La Ley de las Corrientes de Kirchhoff, una de las principales leyes de la electricidad utilizada en el análisis de circuitos eléctricos y electrónicos. En este post les voy a explicar como se encuentra las corrientes y los voltajes en un circuito haciendo análisis nodal con la Ley de las Corrientes de Kirchhoff. Lo primero que se necesita para este análisis es conocer qué es un nodo.

¿Qué es un nodo?Ley de las corrientes de Kirchhoff En un circuito eléctrico, un nodo es un punto donde se cruzan dos o más elementos de circuitos, sea una fuente de voltaje o corriente, resistencias, capacitores, inductores, etc. Para explicar este método usaremos el mismo circuito que usamos en mi anterio post:

En la figura de la parte superior se pueden apreciar los nodos que hemos identificado. Entre la fuente de la izquierda y la resistencia 1 hay un nodo. Lo mismo entre las resistencias R1, R2 y R3. Entre las resistencias R3, R4 y R5. Entre las resistencias R5, R6 y R7. Entre la fuente de la derecha y la resistencia R7. Todos estos elementos van conectados a un nodo en común, el nodo cero, donde se coloca tierra. El propósito del método de nodos es encontrar el voltaje entre todos los nodos y tierra. La diferencia de potencial se produce debido a las caídas de voltaje que le permiten a La Ley de Ohm cumplirse. Pero, en los nodos formados entre resistencias y fuentes ya conocemos el voltaje, es decir, el voltaje de la fuente. En el nodo común, el aterrizado, el voltaje es cero. Ley de las corrientes de Kirchhoff Para encontrar los voltajes en los nodos 2, 3 y 4 utilizamos el principio fundamental de la Ley de las Corrientes de Kirchhoff: la sumatoria de las corrientes que entran a un nodo es igual a la sumatoria de las corrientes que salen del nodo. CircuitoEsto no es más que una extensión del Principio de la Conservación de la Energía que es lo que en sí le da su origen a la Ley de Las Corrientes de Kirchhoff. Para saber las corrientes que entran o salen de un nodo, utilizamos la Ley de Ohm. Según la Ley de Ohm, la corriente que pasa por una resistencia es igual a la diferencia de potencial entre la resistividad.

I=V/R

La diferencia de potencial a la que está sometida una resistencia es igual al voltaje antes de la resistencia menos el voltaje después de la resistencia. Con esto construiremos nuestras ecuaciones para cada nodo. Necesitamos primero escoger el sentido de las corrientes tomando en cuenta que cuando hay una fuente de voltaje la corriente sale del positivo de la fuente. Si no hay una fuente se asume que todas las corrientes fluyen de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Dicho esto tenemos: Ley de las corrientes de Kirchhoff Debemos tener en cuenta que la corriente va de un área de mayor potencial a un área de menor potencial. Al escoger el sentido de la corriente como lo hemos hecho, es decir, de izquierda a derecha asumimos que los potenciales disminuyen de izquierda a derecha. Ahora procedemos a analizar nodo por nodo.

Nodo 2

Como en el Nodo 1 ya conocemos el coltaje (voltaje de la fuente,  voltios) procedemos a analizar el nodo 2. Ley de las corrientes de Kirchhoff La única corriente que entra al nodo es la que viene de la fuente. La corriente que baja por R2 y por R3 salen del nodo. Ley de las corrientes de Kirchhoff Vemos que la corriente que entra es la diferencia de voltajes entre la resistencia R1. Se asume que los 10 voltios de la fuente es mayor al voltaje en el nodo 2 ya que se produce una caída de voltaje en la resistencia. Las corrientes que salen serán la corriente que va del nodo 2 al nodo 3 y las que van del nodo 2 a tierra. Se asume que el voltaje 2 es mayor que el voltaje en el nodo 3. El voltaje en tierra es cero voltios. Al final la ecuación es la siguiente: Ley de las corrientes de Kirchhoff Se trata de igualar la ecuación a cualquier término libre que tengamos. En este caso, el voltaje de la fuente.

Nodo 3

Ley de las corrientes de Kirchhoff Ley de las corrientes de Kirchhoff Las corrientes que tomamos como salientes en un nodo deben ser tomadas como entrantes en el próximo nodo. La ecuación quedaría de esta forma. Ley de las corrientes de Kirchhoff Nodo 4

Al nodo 4 entran 2 corrientes y sale una. Ley de las corrientes de Kirchhoff Una vez más debemos recordar que la corriente sale del positivo de la fuente. El sentido de las flechas indica cuales corrientes entran y cuales salen del nodo. Ley de las corrientes de Kirchhoff Con esto hemos establecido todas las ecuaciones para los 3 nodos que estamos analizando.

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales

Siempre que se trabaja con la Ley de las Corrientes de Kirchhoff aparece un sistema de ecuaciones lineales. Luego de establecidas las ecuaciones, se procede a resolver el mismo. Se puede usare cualquier método (reducción, sustitución, determinantes, etc). Yo prefiero utlizar el método de Gauss-Jordan. Ley de las corrientes de Kirchhoff Ley de las corrientes de Kirchhoff Ley de las corrientes de Kirchhoff Se lleva todo a una matriz. Ley de las corrientes de Kirchhoff Ahora podemos escoger cualquier método para resolver esta matriz. Yo usaré Microsoft Mathematics y posteriormente Matlab y Excel.

Microsoft Mathematics

Insertamos una matriz nxn+1 donde n es la cantidad de nodos a analizar. Ley de las corrientes de Kirchhoff Ley de las corrientes de Kirchhoff Introducimos los datos a la matriz. Ley de las corrientes de Kirchhoff Se aplica reducción y se obtiene los resultados. Ley de las corrientes de Kirchhoff Los voltajes en los nodos 2, 3 y 4 son 3.73, 2.93 y 4.94 voltios, respectivamente. Esto lo podemos comprobar en el simulador: Ley de las corrientes de Kirchhoff Se comprueba que nuestros cálculos han sido correctos.

Matlab

En Matlab necesitamos declarar la matriz con nuestros datos. Ley de las corrientes de Kirchhoff Se aplica el comando rref() para reducir la matriz. Ley de las corrientes de Kirchhoff

Excel

Para facilitar las cosas con Excel, es recomendable que reduzcamos la matriz a valores de fraccionarios, realizando las sumas que quedaron implícitas en nuestra matriz de ecuaciones. De esta manera nos debe quedar una matriz como esta: Matrix También podemos transformar estas fracciones a decimales. Matrix Una vez tengamos estos datos, es muy fácil resolver este sistema de ecuaciones utilizando Excel. Mi estimado amigo Secundino Villarreal, Ingeniero Electromecánico y docente de física en la Universidad Tecnológica de Panamá lanzó el sitio web excelparaingenieria.com en donde constantemente está publicando plantillas diseñadas en Excel. Hemos utilizado la plantilla Gauss Jordan: Ecuaciones Simultáneas 3 x 3 para resolver el sistema de ecuaciones de este ejemplo. La plantilla se encuentra disponible de forma gratuita en la web del autor. Cuando la descargamos veremos algo  como esto: excel para ingenieria Un poco más abajo encontraremos un cuadro donde ingresamos los valores de nuestras ecuaciones. La plantilla irá calculando automáticamente las respuestas del problema al hacer la reducción de Gauss-Jordan. excel para ingenieria

Como podemos observar, los resultados son iguales a aquellos obtenidos con Microsoft Mathematics y Matlab. En la matriz solo vemos números con dos decimales, debido a que ésta es la cantidad preestablecida por el diseñador. El usuario puede escoger la forma como desea que los datos queden visualizados, ya sea en notación científica, fracciones, decimales, etc. Como ya dijimos, la plantilla la podemos descargar desde la web del autor.

Al final el resultado es el mismo. Cuando obtenemos los voltajes en los nodos podemos calcular las corrientes de malla al saber cuanta corriente está pasando por cada resistencia en un punto determinado. En el siguiente video se muestra el proceso completo: El propósito de publicar acerca de la Ley de Las Corrientes de Kirchhoff ha sido crear una referencia para los cálculos que se realizan en los diferentes proyectos que se han presentado y se presentarán en este sitio web. Espero que la información suministrada sea de su completo agrado y comprensión. Saludos.

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